Question

已知函数是定义在上的奇函数,其值域为.

(Ⅰ)试求的值.

(Ⅱ)函数满足：①当时,；②.

①求函数在上的解析式.

②若函数在上的值域是闭区间,试探求的取值范围,并说明理由.

Answer 1

解：（Ⅰ）定义域为,.

又为奇函数,由对恒成立,得 ……………………………………2分

因为的定义域为R,所以方程在R上有解,

当时,由,得,而的值域为,所以,解得;

当时,得,可知符合题意.所以……………………………………………………5分

（Ⅱ）①因为当时, ,所以

当时,……………………………………………………6分

   当时,,

   ……………………………………………………………………9分

②因为当时,在处取得最大值为,在处取得最小值为0……10分

所以当,分别在和处取得最值为与0……………………………………………………………………………………………11分

(1)当时,的值趋向无穷大，从而的值域不为闭区间…………12分

(2)当时,由得是为周期的函数，从而的值域为闭区间13分

(3)当时,由得,得是为周期的函数，

且当值域为，从而的值域为闭区间………14分

(4)当时,由，得的值域为闭区间………………15分

(5)当时,由，从而的值域为闭区间,

综上知，当,即或时,的值域为闭区间…………16分