Question

【题目】已知，． 对于函数、，若存在常数，，使得，不等式都成立，则称直线是函数与的分界线．

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，试探究函数与是否存在“分界线”？若存在，求出分界线方程；若不存在说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）时，与存在“分界线”，理由见解析

【解析】

(1)求导后分,与三种情况讨论即可.

(2)由题意,代入时,有,再根据二次函数的恒成立问题求得,再证明即可.

（1）由得,

若时,有,则在上单调递增；

若时,由解得,

若时,对于,有；,有,

则在上单调递减,在上单调递增；

若时,对于,有；,有,

则在上单调递增,在上单调递减．

（2）当时,,,

若对都成立,

即对都成立．

则时,有；且,对都成立,

即,对都成立．

所以 ,．

此时,令,

则,

令，在上恒成立，

又在上，

∴在单增且，

从而有时,；时,,即在

所以在上递减,在上递增．

因此,即．

故时,与存在“分界线”．