Question

【题目】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为

（1）在曲线上任取一点,连接,在射线上取一点，使,求点轨迹的极坐标方程；

（2）在曲线上任取一点,在曲线上任取一点,求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）求出的极坐标方程，设出点的极坐标，通过构建出与的等量关系，从而得出点轨迹的极坐标方程；

（2）先求出的普通方程，可以得到曲线是椭圆，然后转化为参数方程，的最小值即为椭圆上的点到直线距离的最小值，利用点到直线的距离求解最值。

解:（1）因为曲线的参数方程为（为参数）

所以化为普通方程为，

故的极坐标方程为，

设，

则，即

，

点轨迹的极坐标方程为

（2）因为曲线的极坐标方程为

所以化为直角坐标方程为.

故可化为参数方程为（为参数），

的最小值为椭圆上的点到直线距离的最小值.

设，则

，

。