题目内容
已知函数f（x）=
x3-
（a∈R）．（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）在[0，2]上的最大值；
（Ⅱ）若对任意x∈（0，+∞），有f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．
【答案】分析：（Ⅰ）a=1时写出f（x），求出f′（x），解方程f′（x）=0，列出当x变化时f′（x）、f（x）的变化表，由表格可得函数在[0，2]上的最大值；
（Ⅱ）对任意x∈（0，+∞），有f（x）＞0恒成立，等价于f（x）min＞0，分a＜0，a=0，a＞0三种情况进行讨论，利用导数即可求得f（x）在（0，+∞）上的最小值，然后解不等式f（x）min＞0可得a的范围；
解答：解：（I）当a=1时，f（x）=
-x+
，f′（x）=x2-1，
令f′（x）=0，得x1=-1，x2=1，
列表：
∴当x∈[0，2]时，f（x）最大值为f（2）=
．
（Ⅱ）f′（x）=x2-a2=（x-a）（x+a），令f′（x）=0，得x1=-a，x2=a，
①若a＜0，在（0，-a）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（-a，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
所以，f（x）在x=-a时取得最小值f（-a）=-
=a（
），
因为a＜0，
＞0，所以f（-a）=a（
）＜0．
所以当a＜0时，对任意x∈（0，+∞），f（x）＞0不成立；
②若a=0，f′（x）=x2≥0，所以f（x）在（0，+∞）上是增函数，
所以当a=0时，有f（x）＞f（0）=0；
③若a＞0，在（0，a）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（a，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
所以，f（x）在x=a时取得最小值f（a）=
=-a（
），
令f（a）=-a（
）＞0，由a＞0，得
＜0，0＜a＜
，
所以当0＜a＜
时，对任意x＞0，f（x）＞0都成立．
综上，a的取值范围是[0，
]．
点评：本题考查利用导数求函数在闭区间上的最值、函数恒成立，函数恒成立问题常转化为函数的最值解决，体现了转化思想．
（Ⅱ）对任意x∈（0，+∞），有f（x）＞0恒成立，等价于f（x）min＞0，分a＜0，a=0，a＞0三种情况进行讨论，利用导数即可求得f（x）在（0，+∞）上的最小值，然后解不等式f（x）min＞0可得a的范围；
解答：解：（I）当a=1时，f（x）=
-x+
，f′（x）=x2-1，令f′（x）=0，得x1=-1，x2=1，
列表：
| x | （0，1） | 1 | （1，2） | 2 | |
| f′（x） | -1 | - | + | 3 | |
| f（x） |  | ↘ | - | ↗ |  |
．（Ⅱ）f′（x）=x2-a2=（x-a）（x+a），令f′（x）=0，得x1=-a，x2=a，
①若a＜0，在（0，-a）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（-a，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
所以，f（x）在x=-a时取得最小值f（-a）=-
=a（
），因为a＜0，
＞0，所以f（-a）=a（
）＜0．所以当a＜0时，对任意x∈（0，+∞），f（x）＞0不成立；
②若a=0，f′（x）=x2≥0，所以f（x）在（0，+∞）上是增函数，
所以当a=0时，有f（x）＞f（0）=0；
③若a＞0，在（0，a）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（a，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
所以，f（x）在x=a时取得最小值f（a）=
=-a（
），令f（a）=-a（
）＞0，由a＞0，得
＜0，0＜a＜
，所以当0＜a＜
时，对任意x＞0，f（x）＞0都成立．综上，a的取值范围是[0，
]．点评：本题考查利用导数求函数在闭区间上的最值、函数恒成立，函数恒成立问题常转化为函数的最值解决，体现了转化思想．
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| 2 |
A、f(x)=2sin(πx+
| ||
B、f(x)=2sin(2πx+
| ||
C、f(x)=2sin(πx+
| ||
D、f(x)=2sin(2πx+
|