Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx（a，b为常数，且a≠0），满足条件f（1+x）=f（1-x），且方程f（x）=x有等根．         
（1）求f（x）的解析式；         
（2）当x∈[1，2]时，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由f（1+x）=f（1-x），可得函数的对称轴为x=1，由f（x）=x有等根，得判别式△=0，联立方程即可．
（2）将抛物线进行配方，利用对称轴和区间[1，2]的关系确定函数的值域．

解答：解：（1）∵f（1-x）=f（1+x），
∴二次函数f（x）的对称轴为x=-

b

2a

=1①，
又∵方程 f（x）=x有等根，即ax²+（b-1）x=0有等根，
∴△=（b-1）²-4a•0=0②，
由①②得：b=1，a=-

1

2

，
∴f（x）的解析式为：f(x)=-

1

2

x2+x．
（2）由（1）知：f(x)=-

1

2

x2+x=-

1

2

（x-1）²+

1

2

．
f(x)=-

1

2

(x-1)2+

1

2

．
显然函数f（x）在[1，2]上是减函数，
∴x=1时，ymax=

1

2

，x=2时，y_min=0，
∴x∈[1，2]时，函数的值域是[0，

1

2

]．

点评：本题主要考查二次函数的图象和性质，以及利用待定系数法法求二次函数的解析式．