题目内容
已知函数，
（1）求f（x）在区间（-∞，1）上的极小值和极大值点；
（2）求f（x）在[-1，e]（e为自然对数的底数）上的最大值．
【答案】分析：（1）当x＜1时，求导函数，确定函数的单调性，可得f（x）在区间（-∞，1）上的极小值和极大值点；
（2）分类讨论，确定函数的单调性，即可得到f（x）在[-1，e]（e为自然对数的底数）上的最大值．
解答：解：（1）当x＜1时，f′（x）=-3x2+2x=-x（3x-2），令f′（x）=0，得x=0或x=
．
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
∴当x=0时，函数f（x）取得极小值f（0）=0，函数f（x）取得极大值点为x=
．
（2）①当-1≤x＜1时，f（x）=-x3+x2，
由（1）知，函数f（x）在[-1，0]和[
，1）上单调递减，在[0，
]上单调递增．∵
，
∴f（x）在[-1，1）上的最大值为2．
②当1≤x≤e时，f（x）=alnx．
当a≤0时，f（x）在[1，e]，上单调递增，∴f（x）max=a．
综上所述，当a≥2时，f（x）在[-1，e]上的最大值为a；当a＜2时，f（x）在[-1，e]上的最大值为2．
点评：本题考查导数知识的应用，考查函数的单调性与极值、最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．
（2）分类讨论，确定函数的单调性，即可得到f（x）在[-1，e]（e为自然对数的底数）上的最大值．
解答：解：（1）当x＜1时，f′（x）=-3x2+2x=-x（3x-2），令f′（x）=0，得x=0或x=
．当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
| x | （-∞，0） | 0 | （0， ） |  | （ ，1） |
| f′（x） | - | 0 | + | 0 | - |
| f（x） | 极小值 | 极大值 |
．（2）①当-1≤x＜1时，f（x）=-x3+x2，
由（1）知，函数f（x）在[-1，0]和[
，1）上单调递减，在[0，
]上单调递增．∵
，∴f（x）在[-1，1）上的最大值为2．
②当1≤x≤e时，f（x）=alnx．
当a≤0时，f（x）在[1，e]，上单调递增，∴f（x）max=a．
综上所述，当a≥2时，f（x）在[-1，e]上的最大值为a；当a＜2时，f（x）在[-1，e]上的最大值为2．
点评：本题考查导数知识的应用，考查函数的单调性与极值、最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．
练习册系列答案
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