题目内容
（2013•资阳模拟）已知函数f(x)=2sin(x-
)cosx+sinxcosx+
sin2x（x∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，A＞B，f(B)=
，AC=4
，求BC边的最大值．
| π |
| 3 |
| 3 |
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，A＞B，f(B)=
| 3 |
| 3 |
分析：（I）利用两角和的正弦公式、正弦函数的单调性即可得出；
（II ）利用正弦定理和正弦函数的单调性即可得出．
（II ）利用正弦定理和正弦函数的单调性即可得出．
解答：解：（Ⅰ）f(x)=2(
sinx-
cosx)cosx+sinxcosx+
sin2x
=2sinxcosx-
(cos2x-sin2x)
=sin2x-
cos2x
=2sin(2x-
)．
由-
+2kπ≤2x-
≤
+2kπ，得-
+kπ≤x≤
+kπ（k∈Z）．
∴f（x）单调递增区间是[-
+kπ，
+kπ]（k∈Z）．
（Ⅱ）由f(B)=
得sin(2B-
)=
．
∵A＞B，∴0＜B＜
，则-
＜2B-
＜
，
从而2B-
=
，∴B=
．
由正弦定理，得
=
，即BC=8sin∠BAC．
∵B=
，∠BAC＞B，∴
＜∠BAC＜
．
∴
＜sin∠BAC≤1，4
＜BC≤8．
∴当∠BAC=
，C=
时，BC取得最大值8．
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| 3 |
=2sinxcosx-
| 3 |
=sin2x-
| 3 |
=2sin(2x-
| π |
| 3 |
由-
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 12 |
| 5π |
| 12 |
∴f（x）单调递增区间是[-
| π |
| 12 |
| 5π |
| 12 |
（Ⅱ）由f(B)=
| 3 |
| π |
| 3 |
| ||
| 2 |
∵A＞B，∴0＜B＜
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
从而2B-
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
由正弦定理，得
4
| ||
sin
|
| BC |
| sin∠BAC |
∵B=
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
∴
| ||
| 2 |
| 3 |
∴当∠BAC=
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
点评：本题考查了两角和的正弦公式、正弦函数的单调性、正弦定理等基础知识与基本技能方法，属于难题．
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