Question

已知等差数列{a}中，公差d>0，其前n项和为S，且满足a·a＝45，a＋a＝14。

（Ⅰ）求数列{a}的通项公式及其前n项和S；

（Ⅱ）令b＝（n∈N＊），若数列{c}满足c＝－，＝bn（n∈N＊）。求数列{c}的通项公式c；

（Ⅲ）求f（n）＝－（n∈N＊）的最小值。

Answer 1

（Ⅰ）设数列{a}的公差为d>0，且数列{a}满足a·a＝45，a＋a＝14. 因为数列{a}是等差数列，所以a＋a＝ a＋a＝14.

因为d>0，所以解方程组得a＝5，a＝9.      2分

所以a＝3，d＝2.   所以a＝2n＋1.

因为S＝na＋n（n－1）d，所以S＝n2＋2n

数列{a}的通项公式a＝2n＋1，前n项和公式S＝n2＋2n.  5分

（Ⅱ）因为b＝（n∈N＊）,a＝2n＋1，所以b＝.

因为数列{c}满足c＝－，cn＋1－cn＝，

所以cn＋1－cn ＝（－）. cn－ cn＋1 ＝（－）

…      c2－c1＝（1－）

以上各式相加得：cn＋1－c1＝（1－）＝.

因为c1＝，所以

所以   8分

（Ⅲ）因为f（n）＝－，b＝，c＝－，

所以f（n）＝＋.

因为f（n）＝＋＝＋－，

所以＋－≥2－

f（n）≥－＝，当且仅当＝，即n＝2时等号成立.

当n＝2时，f（n）最小值为.