题目内容

已知函数 $数学公式$ ，其中x∈[0，2π]，求函数f（x）的单调区间和最值．

解：∵函数y= $\text{[math]}$ （x-2sinx），∴y′= $\text{[math]}$ （1-2cosx）．
令y′＜0，可得 cosx＞ $\text{[math]}$ ．
又 x∈[0，2π]，故当x∈（0， $\text{[math]}$ ）或x∈（ $\text{[math]}$ ，2π）时，y′＜0，函数y单调递减．
同理可得，x∈（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）时，y′＞0，函数y单调递增．
故最小值在x= $\text{[math]}$ 或x=2π处取得，
而当x= $\text{[math]}$ 时，函数f（x）的值等于 $\text{[math]}$ ，当x=2π时，函数f（x）的值等于π，
故当x= $\text{[math]}$ 时，函数f（x）有最小值等于 $\text{[math]}$ ．
由题意可得最大值在x=0 或x= $\text{[math]}$ 处取得，
而当x=0时，函数f（x）的值等于0，当x= $\text{[math]}$ 时，函数f（x）的值等于 $\text{[math]}$ ，
故当x= $\text{[math]}$ 时，函数f（x）取得最大值等于 $\text{[math]}$ ．
综上可得，当x= $\text{[math]}$ 时，函数f（x）有最小值等于 $\text{[math]}$ ；
当x= $\text{[math]}$ 时，函数f（x）取得最大值等于 $\text{[math]}$ ．
分析：先求导数，因为是求出单调区间，根据函数的单调区间求出函数的最值．
点评：本题主要考查用导数法求函数的单调区间，尤其要注意三角函数的求导公式以及函数的定义域，根据函数的单调区间求出函数的最值，属于基础题．