Question

已知函数（其中x∈R，A＞0，ω＞0）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个点为．
（1）求f（x）的解析式；
（2）已知m∈R，p：关于x的不等式f（x）≥m²+2m-2对恒成立；q：函数y=（m²-1）^x是增函数．若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据已知可求出函数的周期，进而求出ω值，代入点M（，-2）可得A值，进而求出f（x）的解析式．
（2）由题意可得，p与q一个为真，另一个为假．分别由p真求得实数m的取值范围、由q真求得实数m的取值范围．从而求得p真q假时实数m的取值范围，以及p假q真时，实数m的取值范围，再把这两个范围取并集，即得所求．
解答：解：：（1）∵f（x）=Asin（ωx+）的图象与x轴相邻两个交点之间的距离为，∴最小正周期T=π=．
又∵ω＞0，∴ω=2．
又∵图象上一个点为M（，-2）．∴-2=Asin（+），解得A=2，
∴f（x）=2sin（2x+）．
（2）∵“p或q”为真，“p且q”为假，故p与q一个为真，另一个为假．
由p：关于x的不等式f（x）≥m²+2m-2对恒成立，可得 f_min（x）≥m²+2m-2对恒成立．
由 ≤2x+≤ 可得当2x+=时，f_min（x）=2×=1，∴1≥m²+2m-2，解得-3≤m≤1．
由q：函数y=（m²-1）^x是增函数，可得 m²-1＞1，解得 m＞，或 m＜-．
若p真q假，则得-≤m≤1； 若p假q真，则得  m＞，或 m＜-3．
综上可得，实数m的取值范围为（-∞，-3）∪[-，1]∪（，+∞）．
点评：识点是正弦型函数解析式是求法，正弦型函数的图象和性质，由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．