Question

如图，已知菱形ABCD的边长为6，∠BAD＝60°，AC⊥BD＝O．将菱形ABCD沿对角线AC折起，使BD＝3，得到三棱锥B－ACD．

(Ⅰ)若点M是棱BC的中点，求证：OM∥平面ABD；

(Ⅱ)求二面角A－BD－O的余弦值；

(Ⅲ)设点N是线段BD上一个动点，试确定N点的位置，使得CN＝4，并证明你的结论．

Answer 1

答案：
解析：

　　(Ⅰ)证明：因为点是菱形的对角线的交点，所以是的中点．又点是棱的中点，

　　所以是的中位线，．

　　因为平面，平面，

　　所以平面．

　　(Ⅱ)解：由题意，，因为，

　　所以，．又因为菱形，所以，．

　　建立空间直角坐标系，如图所示．

　　．

　　所以

　　设平面的法向量为，

　　则有即：

　　令，则，所以．

　　因为，所以平面．

　　平面的法向量与平行，

　　所以平面的法向量为．

　　，因为二面角是锐角，

　　所以二面角的余弦值为．

　　(Ⅲ)解：因为是线段上一个动点，设，＝λ，

　　则，所以，

　　则，＝，

　　由得，即，

　　解得或，

　　所以点的坐标为或．(也可以答是线段的三等分点，＝2或2＝)