Question

已知点A（-1，0）、B（1，0），直线AM与BM相交于点M，且它们的斜率之积为-2，
（1）求动点M的轨迹E的方程；
（2）若过点N（1，1）的直线l与曲线E交于C、D两点，且，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意可得：设M（x，y），写出直线AM与直线BM的斜率分别为，结合题意得到x与y的关系，进而得到答案．
（2）根据题意可得直线l的斜率存在，所以设l：y-1=k（x-1），C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），联立方程组得：（2+k²）x²+2k（1-k）x+（1-k）²-2=0，再结合根据根与系数的关系与，得到k²-6k+1=0，进而求出直线的斜率得到直线的方程．
解答：解：（1）由题意可得：设M（x，y），
所以直线AM与直线BM的斜率分别为，
因为直线AM与直线BM的斜率之积为-2，
所以，化简得：．
所以动点M的轨迹E的方程为．
（2）根据题意可得直线l的斜率存在，所以设l：y-1=k（x-1），C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
联立方程组得：
所以整理可得：（2+k²）x²+2k（1-k）x+（1-k）²-2=0
所以根据根与系数的关系可得：
因为，所以x₁x₂+y₁y₂=0，即（1+k²）x₁x₂+k（1-k）（x₁+x₂）+（1-k）²=0，
，
．
所以直线l的方程．
点评：本题主要考查求曲线方程的方法，以及考查当直线与圆相交时结合题意运用韦达定理化简求值的知识点，要求学生掌握平面向量的数量积运算法则，是一道综合性较强的题．