Question

（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分7分
已知曲线的方程为，、为曲线上的两点，为坐标原点，且有．
（1）若所在直线的方程为，求的值；
（2）若点为曲线上任意一点，求证：为定值；
（3）在（2）的基础上，用类比或推广的方法对新的圆锥曲线写出一个命题，并对该命题加以证明．

Answer 1

解：（1）∵所在直线的方程为
由   可得    ∴…………2分
又 ∵ ∴ ∴所在直线的方程为，
同理可得……………4分
∴         ……………5分
（2）当点在轴上时，点在轴上，此时有，，
         ……………6分
当点不在轴上时，设所在直线的方程为，则所在直线的方程为，、两点的坐标分别为、
由  可得， ∴ ……………8分
同理，由可得， ∴……………9分
∴为定值………11分
（3）根据所写新命题的思维层次的不同情况分别进行评分
①已知双曲线的方程为，、为曲线上的两点，为坐标原点，且有。求证：为定值。              ……………13分
证明：显然、两点都不能在轴上，
设所在直线的方程为，则所在直线的方程为，、两点的坐标分别为、
由  可得， ……………14分
同理，由可得，
∴………15分
②已知椭圆的方程为，、为曲线上的两点，为坐标原点，且有。
求证：……………13分
证明：当点在轴上时，点在轴上，
此时有，，       ……………14分
当点不在轴上时，设所在直线的方程为，
则所在直线的方程为，、两点的坐标分别为、
由  可得， 
……………15分
同理，由可得
， ……………16分
∴…17分
③已知双曲线的方程为，、为曲线上的两点，为坐标原点，且有，
则当时，求证：……………14分
证明：显然、两点都不能在轴上，
设所在直线的方程为，则所在直线的方程为，、两点的坐标分别为、
由  可得， ……15分
同理，由可得
， ……………17分
故……………18分

略