Question

点P是椭圆

x2

4

+

y2

5

=1上一点，F₁，F₂是椭圆的焦点，且∠F₁PF₂=30°，则S△F1PF2=

4(2-

3

)

．

Answer 1

分析：根据椭圆方程算出椭圆的焦点坐标为F₁（-1，0）、F₂（1，0）．由椭圆的定义|PF₁|+|PF₂|=2

5

，△PF₁F₂中用余弦定理得到|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|cos30°=4，两式联解可得|PF₁|•|PF₂|=16（2-

3

），最后根据三角形面积公式即可算出△PF₁F₂的面积．

解答：解：∵椭圆方程为

x2

4

+

y2

5

=1，
∴a²=5，b²=4，得a=

5

且b=2，c=

5-4

=1，
因此，椭圆的焦点坐标为F₁（-1，0）、F₂（1，0）．
根据椭圆的定义，得|PF₁|+|PF₂|=2a=2

5

∵△PF₁F₂中，∠F₁PF₂=30°，
∴|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|cos30°=4c²=4，
可得（|PF₁|+|PF₂|）²=4+（2+

3

）|PF₁|•|PF₂|=20
因此，|PF₁|•|PF₂|=

16

2+ 3

=16(2-

3

)，
可得△PF₁F₂的面积为S=

1

2

•|PF₁|•|PF₂|sin30°=

1

2

×16(2-

3

)×

1

2

=4（2-

3

）．
故答案为：4(2-

3

)．

点评：本题给出椭圆上一点对两个焦点所张的角为30度，求焦点三角形的面积．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．