Question

设圆C₁：x²+y²-10x-6y+32=0，动圆C₂：x²+y²-2ax-2（8-a）y+4a+12=0，
（Ⅰ）求证：圆C₁、圆C₂相交于两个定点；
（Ⅱ）设点P是椭圆

x2

4

+y2=1上的点，过点P作圆C₁的一条切线，切点为T₁，过点P作圆C₂的一条切线，切点为T₂，问：是否存在点P，使无穷多个圆C₂，满足PT₁=PT₂？如果存在，求出所有这样的点P；如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）化简动圆C₂确定它过的定点，在圆C₁上即可．
（Ⅱ）设存在，再设P的坐标，求出PT₁，PT₂令其相等，求得关系式，P适合椭圆方程，可求得P的坐标．

解答：解：（Ⅰ）将方程x²+y²-2ax-2（8-a）y+4a+12=0化为x²+y²-16y+12+（-2x+2y+4）a=0，
令

x2+y2-16y+12=0 -2x+2y+4=0

得

x=4 y=2

或

x=6 y=4

，
所以圆C₂过定点（4，2）和（6，4），（4分）
将

x=4 y=2

代入x²+y²-10x-6y+32=0，
左边=16+4-40-12+32=0=右边，
故点（4，2）在圆C₁上，同理可得点（6，4）也在圆C₁上，
所以圆C₁、圆C₂相交于两个定点（4，2）和（6，4）；（6分）
（2）设P（x₀，y₀），则PT1=

x02+y02-10x0-6y0+32

，（8分）PT2=

x02+y02-2ax0-2(8-a)y0+4a+12

，（10分）
PT₁=PT₂即-10x₀-6y₀+32=-2ax₀-2（8-a）y₀+4a+12，
整理得（x₀-y₀-2）（a-5）=0（*）（12分）
存在无穷多个圆C₂，满足PT₁=PT₂的充要条件为

x0-y0-2=0 x02 4 +y02=1

有解，
解此方程组得

x0=2 y0=0

或

x0= 6 5 y0=- 4 5

，（14分）
故存在点P，使无穷多个圆C₂，满足PT₁=PT₂，点P的坐标为(2，0)或(

6

5

，-

4

5

)．（16分）

点评：本题考查圆与圆的位置关系，考查存在性问题，分析问题和解决问题的能力，是难题．