题目内容
在A，B，C，D四小题中只能选做2题，每题10分，共计20分．A、如图，AB为⊙O的直径，BC切⊙O于B，AC交⊙O于P，CE=BE，E在BC上．求证：PE是⊙O的切线．
B、设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换．
（1）求矩阵M的特征值及相应的特征向量；
（2）求逆矩阵M-1以及椭圆
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 9 |
C、已知某圆的极坐标方程为：ρ2-4
| 2 |
| π |
| 4 |
（Ⅰ）将极坐标方程化为普通方程；并选择恰当的参数写出它的参数方程；
（Ⅱ）若点P（x，y）在该圆上，求x+y的最大值和最小值．
D、若关于x的不等式|x+2|+|x-1|≥a的解集为R，求实数a的取值范围．
分析：本题考查矩阵的变换中的伸压变换，横坐标、纵坐标拉伸和压缩变换与矩阵中数的对应关系；逆矩阵变换公式
解答：
解：A、证明：如图，连接OP、BP．
∵AB是⊙O的直径，∴∠APB=90°．
又∵CE=BE，∴EP=EB．∴∠3=∠1．
∵OP=OB，∴∠4=∠2．
∵BC切⊙O于点B，∴∠1+∠2=90°．
∠3+∠4=90°．
又∵OP为⊙O的半径，
∴PE是⊙O的切线．
B、（1）由条件得矩阵M=
，
它的特征值为2和3，对应的特征向量为
及
；
（2）M-1=
，
椭圆
+
=1在M-1的作用下的新曲线的方程为x2+y2=1．
C、解：（Ⅰ）x2+y2-4x-4y+6=0；
（α为参数）
（Ⅱ）x+y=4+2sin（α+
）最大值6，最小值2．
D、解：a小于|x+2|+|x-1|的最小值即可，
而t=|x+2|+|x-1|≥|（x+2）-（x-1）|=3，
tmin=3，
只要a≤3．
解：A、证明：如图，连接OP、BP．∵AB是⊙O的直径，∴∠APB=90°．
又∵CE=BE，∴EP=EB．∴∠3=∠1．
∵OP=OB，∴∠4=∠2．
∵BC切⊙O于点B，∴∠1+∠2=90°．
∠3+∠4=90°．
又∵OP为⊙O的半径，
∴PE是⊙O的切线．
B、（1）由条件得矩阵M=
|
它的特征值为2和3，对应的特征向量为
|
|
（2）M-1=
|
椭圆
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 9 |
C、解：（Ⅰ）x2+y2-4x-4y+6=0；
|
（Ⅱ）x+y=4+2sin（α+
| π |
| 4 |
D、解：a小于|x+2|+|x-1|的最小值即可，
而t=|x+2|+|x-1|≥|（x+2）-（x-1）|=3，
tmin=3，
只要a≤3．
点评：矩阵变换的几种形式，特征值与特征向量的对应关系．
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