题目内容

下列说法中
①设定点F1(0,-3),F2(0,3),动点P(x,y)满足条件|PF1|+|PF2|=a(a>0),则动点P的轨迹是椭圆或线段;
②命题“每个指数函数都是单调函数”是全称命题,而且是真命题.
③离心率为
1
2
,长轴长为8的椭圆标准方程为
x2
16
+
y2
12
=1

④若3<k<4,则二次曲线
x2
4-k
+
y2
3-k
=1
的焦点坐标是(±1,0).
其中正确的为
②④
②④
(写出所有真命题的序号)
分析:①当a<6时,轨迹不存在.②根据全称命题的定义判断.③椭圆的焦点位置不确定,所以方程不确定.④当3<k<4,4-k>0>3-k曲线为双曲线,然后利用双曲线的方程确定c.
解答:解:①根据椭圆的定义可知,a>6,所以当a<6时,轨迹不存在,所以①错误.
②命题含有全称量词“每个”,所以命题是全称命题,且为真命题,正确.
③由题意知2a=8,所以a=4,由e=
c
a
=
1
2
,得c=2,所以b2=a2-c2=12,所以椭圆标准方程为
x2
16
+
y2
12
=1
y2
16
+
x2
12
=1
,所以③错误.
④当3<k<4,4-k>0>3-k曲线为双曲线,双曲线方程为
x2
4-k
-
y2
k-3
,焦点在x轴上,所以a2=4-k,b2=k-3,所以c2=a2+b2=1,即c=1,所以焦点坐标是(±1,0),所以④正确.
故答案为:②④
点评:本题主要考查各种命题的真假判断,综合性较强,涉及的知识点较多.
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