题目内容
12．已知f（x）=$\frac{1}{3}$x3+x，x∈R，若至少存在一个实数x使得f（a-x）+f（ax2-1）＜0成立，a的范围为（-∞，$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$）．分析 根据f（x）=$\frac{1}{3}$x3+x，x∈R为奇函数，且在R上单调递增，由题意可得ax2-x+a-1＜0有解．分类讨论，求得a的范围．
解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{3}$x3+x，x∈R为奇函数，且在R上单调递增，
至少存在一个实数x使得f（a-x）+f（ax2-1）＜0成立，
即不等式f（a-x）＜-f（ax2-1）=f（1-ax2）有解，
∴a-x＜1-ax2有解，即ax2-x+a-1＜0有解．
显然，a=0满足条件．
当a＞0时，由△=1-4a（a-1）＞0，即4a2-4a-1＜0，
求得$\frac{1-\sqrt{2}}{2}$＜a＜$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$，∴0＜a＜$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$．
当a＜0时，不等式ax2-x+a-1＜0一定有解．
故答案为：（-∞，$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$）．
点评 本题主要考查特称命题，二次函数的性质，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．
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7．下列表示同一个函数的是（ ）
| A． | y=lnex与y=elnx | B． | $y={t^{\frac{1}{2}}}$与$y={t^{\frac{2}{4}}}$ | ||
| C． | y=x0与y=$\frac{1}{x^0}$ | D． | $y=cos（t+\frac{π}{2}）$与y=sint |