Question

首项为正数的等比数列{a_n}，满足a_k-3=8且a_ka_k-2=

a

2 6

=1024．对满足a_t＞128的任意正整数t，函数f（t）=

k+t

k-t

的最小值是

-8

．

Answer 1

分析：由等比数列的性质，可得k=7，求得a₄和a₆的值，从而求得公比及通项公式，得到满足a_t＞128=2⁷ 的t的最小值等于 9，利用函数的单调性求得函数的最小值．

解答：解：由题意有可得k+k-2=12，∴k=7，∴a₄=8．
又a₆²=1024，∴a₆=32，
又首项为正数，故数列{a_n}为正项数列，∴公比q=2，a_n=a₄•q^n-4=8×2^n-4=2^n-1，
故满足a_t＞128=2⁷的正整数t≥9，
∵f（t）=

k+t

k-t

=

7+t

7-t

=-1-

14

t-7

，在[9，+∞）上是增函数，
∴t=9时，函数f（t）=

k+t

k-t

的最小值是-8，
故答案为：-8．

点评：本题考查等比数列的性质，考查函数的单调性，属于中档题．