Question

(本题满分13分)如图，菱形ABCD中，∠ABC=60^o, AE⊥平面ABCD，CF⊥平面ABCD，AB= AE=2，CF=3.

（Ⅰ）求证EF⊥平面BDE；

（Ⅱ）求锐二面角E—BD—F的大小.     

Answer 1

（Ⅰ）证法一：连接AC、BD，设AC∩BD=O，

   ∵ABCD为菱形，∴AC⊥BD，以O为原点，OA，OB为x、y轴正向，z轴过O且平行于CF，建立空间直角坐标系（图1），……2分

  则，

 ，，…………4分

 ∴ ，，

∴EF⊥DE，EF⊥BE，又DE∩BE=E，∴EF⊥平面BDE.………6分

（Ⅱ）解法一：由知（Ⅰ）是平面BDE的一个法向量，

设是平面BDF的一个法向量，

,由

得：，取x=3，得z=1，y=0，

于是，……………………………………………………………………………10分

,…………………………………………12分

但二面角E—BD—F为锐二面角，故其大小为45^o. ………………………………………13分

（Ⅰ）证法二：连接AC、BD，设AC∩BD=O， (图2)

∵ABCD为菱形， ∴AC⊥BD，

 ∵CF⊥平面ABCD，∴CF⊥BD，AC∩CF=C，

∴BD⊥平面ACF，EFÌ平面ACF，∴BD⊥EF，……2分

，,

，∴，

∴ ， ……………………………………………4分

 又BD∩OE=O，∴EF⊥平面BDE.…………………………6分

（Ⅱ）解法二：由（Ⅰ）BD⊥平面ACF，OEÌ平面ACF，OFÌ平面ACF，

∴OE⊥BD，OF⊥BD，∴∠EOF是二面角E—BD—F的一个平面角， ………………10分

又，，∴∠EOF=45^o，即二面角E—BD—F的大小为45^o.…13分