Question

已知

m

=(2cos2x，

3

)，

n

=(1，sin2x)，f(x)=

m

•

n

（1）求f（x）的最小正周期
（2）若x∈[0，

π

2

]，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：先根据向量数量积运算表示出函数f（x），再由二倍角公式和两角和与差的公式化简
（1）根据T=

2π

w

可求得最小正周期．
（2）先根据x的范围求得2x+

π

6

的范围，再由正弦函数的单调性与值域可得到此函数的值域．

解答：解：（1）∵f（x）=

m

•

n

=(2cos2x，

3

)•(1，sin2x)=2cos2x+

3

sin2x
=cos2x+

3

sin2x+1=2sin（2x+

π

6

）+1
∴T=

2π

2

=π
（2）∵x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]
∴当2x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

6

时，函数f（x）取到最大值2+1=3
当2x+

π

6

=

7π

6

，即x=

π

2

时，函数f（x）取到最小值2×（-

1

2

）+1=0
∴f（x）的值域为[0，3]．

点评：本题主要考查向量的数量积运算和三角函数的二倍角公式、两角和与差的公式的应用，考查三角函数的基本性质--最小正周期和值域．三角函数与向量的综合题是高考的热点问题，每年必考，一定要多加练习．