Question

已知函数f(x)=2cos2(

π

4

-x)-

3

cos2x-1，x∈R．
（1）求函数f（x）单调递增区间；
（2）若A={y|y=f(x)，x∈[

π

4

，

π

2

]}，不等式|x-m|＜3的解集为B，A∩B=A，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式、诱导公式、两角差的正弦函数化简函数的表达式，通过正弦函数的单调增区间，求出函数的单调增区间．
（2）通过（1）根据x的范围求出集合A，利用A∩B=A，求出集合B，得到不等式组，求出m的范围即可．

解答：解：（1）f(x)=1+cos(

π

2

-2x)-

3

cos2x-1=sin2x-

3

cos2x=2sin(2x-

π

3

)，…（5分）
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

解得：kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，
∴f（x）在区间[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，k∈Z上单调递增．…（8分）
（2）A={y|y=f(x)，x∈[

π

4

，

π

2

]}，不等式|x-m|＜3的解集为B，A∩B=A，
x∈[

π

4

，

π

2

]，∴2x-

π

3

∈[

π

6

，

2π

3

]，∴A=[1，2]，
又解得B=（m-3，m+3）…（12分）
而A∩B=A⇒A⊆B∴

m-3＜1 m+3＞2

，得-1＜m＜4…（16分）．

点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，二倍角公式两角差的正弦函数的应用，考查计算能力，转化思想．