题目内容
已知函数f(x)=2cos2(
-x)-2
sin(
+x)cos(
+x)．
（1）求f(
)的值；
（2）求f（x）的单调减区间；
（3）若x∈[
，
]，且不等式|f（x）-m|＜2恒成立，求实数m的取值范围．
| π |
| 4 |
| 3 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
（1）求f(
| 5π |
| 12 |
（2）求f（x）的单调减区间；
（3）若x∈[
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
分析：（1）先根据倍角公式，诱导公式及和差角公式，化简函数的解析式，将x=
代入，可得答案．
（2）根据（1）中函数的解析式，根据正弦函数的单调性，可求出f（x）的单调减区间；
（3）概据x∈[
，
]，求出f（x）的值域，进而结合绝对值不等式的解法，求得不等式|f（x）-m|＜2恒成立时，实数m的取值范围
| 5π |
| 12 |
（2）根据（1）中函数的解析式，根据正弦函数的单调性，可求出f（x）的单调减区间；
（3）概据x∈[
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
解答：解：（1）∵f(x)=2cos2(
-x)-2
sin(
+x)cos(
+x)
=1+cos(
-2x)-
sin(
+2x)
=1+sin2x-
cos2x=2sin(2x-
)+1…（4分）
∴f(
)=2sin(
-
)+1=2sin
+1=3…（5分）
（2）由
+2kπ≤2x-
≤
+2kπ，k∈Z…（6分）
得
+kπ≤x≤
+kπ，k∈Z…（7分）
∴f（x）的单调减区间是[
+kπ，
+kπ](k∈Z)…（9分）
（3）∵x∈[
，
]，∴
≤2x-
≤
…（10分）
∴
≤sin(2x-
)≤1，
2≤f(x)=2sin(2x-
)+1≤3…（11分）
由|f（x）-m|＜2得m-2＜f（x）＜m+2…（12分）
∴m-2＜2且m+2＞3，
即1＜m＜4…（14分）
| π |
| 4 |
| 3 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
=1+cos(
| π |
| 2 |
| 3 |
| π |
| 2 |
=1+sin2x-
| 3 |
| π |
| 3 |
∴f(
| 5π |
| 12 |
| 5π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
（2）由
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 3π |
| 2 |
得
| 5π |
| 12 |
| 11π |
| 12 |
∴f（x）的单调减区间是[
| 5π |
| 12 |
| 11π |
| 12 |
（3）∵x∈[
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
∴
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
2≤f(x)=2sin(2x-
| π |
| 3 |
由|f（x）-m|＜2得m-2＜f（x）＜m+2…（12分）
∴m-2＜2且m+2＞3，
即1＜m＜4…（14分）
点评：本题考查的知识点是二倍角的余弦公式，二倍角的正弦公式，两角差的正弦公式，三角函数的图象和性质，其中化简函数解析式为正弦型函数是解答的关键．
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