Question

已知定点F(1,0),点P在y轴上运动,点M在x轴上,PM⊥PF,设点M关于点P的对称点为N.

(1)求点N轨迹E的方程;

(2)过F作轨迹E的两条互相垂直的弦AB、CD,设AB、CD的中点分别为G、H,求证:直线GH必过定点Q(3,0).

Answer 1

(1)解:设N(x,y),依题意,则x+x_m=0,y=2y_p.

又PF⊥MN,k_PF·k_MN=-1,

k_PF=-y_p,k_MN=.

代入整理,得y²=4x.

(2)解:设A(x_a,y_a),B(x_b,y_b),G(x_G,y_G),H(x_H,y_H),直线AB的方程为y=k(x-1),

则①②

①-②,得y_A+y_B=,即y_G=,代入方程y=k(x-1),解得x_G=+1.

所以点G坐标为(+1,).9分同理可得:点H的坐标为(2k²+1,-2k).

直线GH的斜率为k_GH=,方程为y+2k=(x-2k²-1),

整理,得y(1-k²)=k(x-3),不论k为何值,(3,0)均满足方程,所以直线GH恒过定点Q(3,0).