Question

设n是大于0的自然数，fx是[0，n]上的连续函数，且f0=fn。求证：在0，n内至少存在一点ξ，使fξ+1=fξ。

 

Answer 1

答案：
解析：

设F(x)=f(x+1)-f(x)。则F(x)在[0，n-1]上连续，从而F(x)在[0，n-1]上可达到最大值M和最小值m，所以 。 ∴ 在(0，n-1)内至少存在一点ξ，使 而F(0)=f(1)-f(0) F(1)=f(2)-f(1) …… F(n-1)=f(n)-f(n-1) ∴ F(0)+F(1)+…+F(n-1)=f(n)-f(0)=0 ∴ F(ξ)=0。即f(ξ+1)-f(ξ)=0。 即f(ξ+1)=f(ξ)。 注意到0<ξ<n-1<n。可知(0，n)内至少存在一点ξ，f(ξ+1)=f(ξ)。