Question

若不等式x+2

xy

≤a(x+y)对任意的实数x＞0，y＞0恒成立，则实数a的最小值为

5 +1

2

．

Answer 1

分析：不等式x+2

xy

≤a(x+y)分离参数，再利用换元法，构造函数，利用导数法确定函数的最大值，从而可求实数a的最小值．

解答：解：不等式x+2

xy

≤a(x+y)可化为a≥

x+2 xy

x+y

∴a≥

1+2 y x

1+ y x

令t=

y x

(t＞0)，∴a≥

1+2t

1+t2

令u=

1+2t

1+t2

，∴u′=

2(1-t-t2)

(1+t2)2

令u′=0，∴t=

5 -1

2

（负值舍去）
∴函数在（0，

5 -1

2

）上单调增，在（

5 -1

2

，+∞）上单调减
∴t=

5 -1

2

时，函数u=

1+2t

1+t2

取得最大值为

5 +1

2

∴a≥

5 +1

2

∴实数a的最小值为

5 +1

2

故答案为：

5 +1

2

点评：本题考查恒成立问题，涉及到两个变量，一般都是把它变成一个变量去考虑的，属于中档题．