Question

（2012•台州一模）若不等式x²+2xy≤a（6x²+y²）对任意正实数x，y恒成立，则实数a的最小值为（　　）

• A．2
• B．1
• C．

  1

  3

• D．

  1

  2

Answer 1

分析：不等式x²+2xy≤a（6x²+y²），可化为a≥

x2+2xy

6x2+y2

=

1+2• y x

6+( y x )2

对于一切正数x，y恒成立，换元，求出函数的最值，即可求得结论．

解答：解：不等式x²+2xy≤a（6x²+y²），可化为a≥

x2+2xy

6x2+y2

=

1+2• y x

6+( y x )2

令t=

y

x

，则t＞0，a≥

1+2t

6+t2

令f（t）=

1+2t

6+t2

，则f′（t）=

-2(t+3)(t-2)

(6+t2)2

∴t∈（0，2）时，f′（t）＞0，函数单调递增，t∈（2，+∞）时，f′（t）＜0，函数单调递减
∴t=2时，函数取得最大值

1

2

∴a≥

1

2

∴实数a的最小值为

1

2

故选D．

点评：本题考查恒成立问题，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．