Question

【题目】已知函数，函数的图象在点处的切线方程为.

（1）讨论的导函数的零点的个数；

（2）若，且在上的最小值为，证明：当时，.

Answer 1

【答案】（1）当时，存在唯一零点，当时，无零点.（2）证明见解析

【解析】

（1）由题意得的定义域为，，然后分和两种情况讨论即可

（2）先由条件求出，然后要证，即证，令，然后利用导数得出即可

（1）由题意，得的定义域为，.

显然当时，恒成立，无零点.

当时，取，

则，即单调递增，

又，，

所以导函数存在唯一零点.

故当时，存在唯一零点，当时，无零点.

（2）由（1）知，当时，单调递增，所以，所以.

因为，函数的图象在点处的切线方程为，

所以，所以.

又，所以，所以.

根据题意，要证，即证，只需证.

令，则.

令，则，

所以在上单调递增.

又，，

所以有唯一的零点.

当时，，即，单调递减，

当时，，即，单调递增，

所以.

又因为，所以，所以，

故.