Question

【题目】已知函数，.

（1）求的极值；

（2）若方程有三个解，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）当时，极小值；当时，无极值；当时，极大值；（2）

【解析】

（1）求得的定义域和导函数，对分成三种情况进行分类讨论 的极值.

（2）构造函数，通过的导函数研究的零点，对分成进行分类讨论，结合有三个零点，求得的取值范围.

（1）的定义域为，

，

当时，在上递减，在上递增，所以在处取得极小值，

当时，，所以无极值，

当时，在上递增，在上递减，所以在处取得极大值.

（2）设，即，

.

①若，则当时，，单调递减，当时，，单调递增，至多有两个零点.

②若，则，（仅）.单调递增，至多有一个零点.

③若，则，当或时，，单调递增；当时，，单调递减，要使有三个零点，必须有成立.

由，得，这与矛盾，所以不可能有三个零点.

④若，则.当或时，，单调递增；当时，，单调递减，要使有三个零点，必须有成立，

由，得，由及，得，

.

并且，当时，，，

，.

综上，使有三个零点的的取值范围为.