题目内容
设a＞0,(1)证明f(x)=
取得极大值和极小值的点各1个；(2)当极大值为1,极小值为-1时,求a和b的值.
(1)证明：f′(x)=,
令f′(x)=0,即ax2+2bx-a=0.(*)
∵Δ=4b2+4a2＞0,
∴方程(*)有两个不相等的实根,记为x1、x2.
不妨设x1＜x2,则有f′(x)=a(x-x1)(x-x2),f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
x | (-∞,x1) | x1 | (x1,x2) | x2 | (x2,+∞) |
f′(x) | - | 0 | + | 0 | - |
f(x) | ?↘ | 极小 | ↗? | 极大 | ?↘ |
由上表可见,f(x)取得极大值和极小值的点各1个.
(2)解：由(1)可知f(x1)=
=-1,f(x2)=
=1
-x12-1=ax1+b且1+x22=ax2+b,两式相加,
得x22-x12=a(x1+x2)+2b.
又x1+x2=
,代入上式,
得x22-x12=a(
)+2b=0,
∴x22-x12=0,即(x2-x1)(x2+x1)=0.
而x1＜x2,∴x1+x2=0.∴b=0代入(*)式,得a(x2-1)=0.
∵a＞0,∴x=±1,再代入(1),得a=2.
∴a=2,b=0.
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≤a≤1，且f（x）在[1，3]上的最大值为M （a），最小值为N （a），令g（a）=M（a）-N （a），求g（a）的表达式；
；
，+∞），|f（x1）-f（x2）|≥a（x1-x2）．
，且f（x）在[1，3]上的最大值为M（a），最小值为N（a），令g（a）=M（a）-N（a），求g（a）的表达式；
；
，|f（x1）-f（x2）|≥a|x1-x2|