Question

已知：函数f（x）=ax²-2x+1．
（1）若，且f（x）在[1，3]上的最大值为M（a），最小值为N（a），令g（a）=M（a）-N（a），求g（a）的表达式；
（2）在（1）的条件下，求证：；
（3）设a＞0，证明对任意的，|f（x₁）-f（x₂）|≥a|x₁-x₂|

Answer 1

【答案】分析：（1）此问是关于二次函数在定区间，变函数的最值问题，配方后对称轴x=∈[1，3]，因此需要讨论和两种情况以判断出最大值是取f（3）还是）f（1）；最小值是g（a）．
（2）由（1）知g（a）是关于a的函数，然后利用导数根据单调性求出函数的最小值即可．
（3）这一问是本题的难点，容易证明函数f（x）在上的单调性，可得其为增函数，若设x₁≤x₂，则有f（x₁）≤f（x₂），因此|f（x₁）-f（x₂）|≥a|x₁-x₂|可等价转化为a（x₁+x₂）≥2，由易得其成立，即可得证明．
解答：解：（1）∵
由得∴．
当，即时，M（a）=f（3）=9a-5，故；
当，即时，M（a）=f（1）=a-1，故．
∴
（2）∵当时，＜0，∴函数g（a）在上为减函数；
当时，，∴函数g（a）在上为增函数，
∴当时，g（a）取最小值，，故．
（3）∵当a＞0时，抛物线f（x）=ax²-2x+1开口向上，对称轴为，
∴函数f（x）在上为增函数，
不妨设x₁≤x₂，由，得f（x₁）≤f（x₂）
|f（x₁）-f（x₂）|≥a|x₁-x₂|?f（x₂）-f（x₁）≥a（x₂-x₁）?a（x₁+x₂）≥2，
∴对任意的，x₁+x₂≥，
易得a（x₁+x₂）≥2，
即f（x₂）-f（x₁）≥a（x₂-x₁）成立，
故|f（x₁）-f（x₂）|≥a|x₁-x₂|成立．
点评：本题考查含参数的二次函数在在定区间上的最值得求法，利用导数工具判断并求解函数的单调性和单调区间，以及利用单调性求函数的最值问题，构造函数利用导数求函数的最值进一步证明不等式的恒成立问题，考查了分类讨论思想，函数与方程思想等思想方法．