题目内容

已知：函数f（x）=ax²-2x+1．
（1）若 $数学公式$ ≤a≤1，且f（x）在[1，3]上的最大值为M （a），最小值为N （a），令g（a）=M（a）-N （a），求g（a）的表达式；
（2）在（1）的条件下，求证：g（a）≥ $数学公式$ ；
（3）设a＞0，证明对任意的x₁，x₂∈[ $数学公式$ ，+∞），|f（x₁）-f（x₂）|≥a（x₁-x₂）．

解：（1）∵f（x）=ax²-2x+1．
∴ $\text{[math]}$ ，
由 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．
当 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ 时，
M（a）=f（3）=9a-5，
故 $\text{[math]}$ ；
当 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ 时，
M（a）=f（1）=a-1，
故 $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ．
（2）∵当 $\text{[math]}$ 时，
$\text{[math]}$ ＜0，
∴函数g（a）在 $\text{[math]}$ 上为减函数；
当 $\text{[math]}$ 时，
$\text{[math]}$ ，
∴函数g（a）在 $\text{[math]}$ 上为增函数，
∴当 $\text{[math]}$ 时，g（a）取最小值，
$\text{[math]}$ ，
故 $\text{[math]}$ ．
（3）∵当a＞0时，抛物线f（x）=ax²-2x+1开口向上，
对称轴为 $\text{[math]}$ ，
∴函数f（x）在 $\text{[math]}$ 上为增函数，
（或由f'（x）=2ax-2≥0得 $\text{[math]}$ ，
∴函数f（x）在 $\text{[math]}$ 上为增函数，
不妨设x₁≤x₂，由 $\text{[math]}$ ，
得f（x₁）≤f（x₂）
∴|f（x₁）-f（x₂）|≥a|x₁-x₂|，
∴f（x₂）-f（x₁）≥a（x₂-x₁），
∴f（x₂）-ax₂≥f（x₁）-ax₁
令φ（x）=f（x）-ax=ax²-（a+2）x+1，x∈ $\text{[math]}$
∵抛物线y=φ（x）开口向上，
对称轴为 $\text{[math]}$ ，
且 $\text{[math]}$ ，
∴函数φ（x）在 $\text{[math]}$ 上单调递增，
∴对任意的 $\text{[math]}$ ，x₂≥x₁，
有φ（x₂）≥φ（x₁），
即f（x₂）-ax₂≥f（x₁）-ax₁，
∴|f（x₁）-f（x₂）|≥a|x₁-x₂|．
分析：（1） $\text{[math]}$ ，由 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ ．所以 $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ 时，M（a）=f（3）=9a-5．当 $\text{[math]}$ 时，M（a）=f（1）=a-1，由此能求出g（a）的表达式．
（2）当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ＜0，所以函数g（a）在 $\text{[math]}$ 上为减函数；当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，所以函数g（a）在 $\text{[math]}$ 上为增函数，由此能够证明 $\text{[math]}$ ．
（3）当a＞0时，抛物线f（x）=ax²-2x+1开口向上，对称轴为 $\text{[math]}$ ，函数f（x）在 $\text{[math]}$ 上为增函数；抛物线y=φ（x）开口向上，对称轴为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，函数φ（x）在 $\text{[math]}$ 上单调递增．由此能够证明|f（x₁）-f（x₂）|≥a|x₁-x₂|．
点评：本题考查二次函数性质的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．综合性强，是高考的重点，容易出易．解题时要认真审题，注意分类讨论思想的灵活运用．