Question

已知1≤x²+y²≤2,求证:≤x²-xy+y²≤3.

Answer 1

思路分析:由条件等式联想到正、余弦的平方关系，可采用换元对不等式进行转化.

证明:设x=rcosα,y=rsinα,α∈［0,2π),1≤r≤,则x²-xy+y²=r²-r²sinαcosα

=r²(1-sin2α).

∵≤1-sin2α≤,1≤r²≤2,

∴两式相乘得≤r²(1-sin2α)≤3,

即≤x²-xy+y²≤3.