Question

已知1≤x²+y²≤2，则x²+xy+y²的取值范围    ．

Answer 1

【答案】分析：令x=asinθ，y=acosθ，t=x²+xy+y²，则有1≤x²+y²≤2，可得a的范围，进而化简t=x²+xy+y²可得t=（1+sin2θ）a²，
由三角函数的性质，可得1+sin2θ的范围，计算可得答案．
解答：解：令x=asinθ，y=acosθ，t=x²+xy+y²，
则有1≤x²+y²≤2，可得1≤a≤，
进而可得，t=x²+xy+y²=a²+a²sinθcosθ=（1+sin2θ）a²，
由三角函数的性质，可得≤（1+sin2θ）≤，
故≤t≤3，
故答案为[，3]．
点评：本题考查换元法在不等式中的应用，常见的换元方法有三角换元，要结合三角函数进行分析．