Question

18．已知椭圆E：$\frac{x^2}{t}$+$\frac{y^2}{3}$=1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．
（Ⅰ）当t=4，|AM|=|AN|时，求△AMN的面积；
（Ⅱ）当2|AM|=|AN|时，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）方法一、求出t=4时，椭圆方程和顶点A，设出直线AM的方程，代入椭圆方程，求交点M，运用弦长公式求得|AM|，由垂直的条件可得|AN|，再由|AM|=|AN|，解得k=1，运用三角形的面积公式可得△AMN的面积；
方法二、运用椭圆的对称性，可得直线AM的斜率为1，求得AM的方程代入椭圆方程，解方程可得M，N的坐标，运用三角形的面积公式计算即可得到；
（Ⅱ）直线AM的方程为y=k（x+$\sqrt{t}$），代入椭圆方程，求得交点M，可得|AM|，|AN|，再由2|AM|=|AN|，求得t，再由椭圆的性质可得t＞3，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：（Ⅰ）方法一、t=4时，椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，A（-2，0），
直线AM的方程为y=k（x+2），代入椭圆方程，整理可得（3+4k²）x²+16k²x+16k²-12=0，
解得x=-2或x=-$\frac{8{k}^{2}-6}{3+4{k}^{2}}$，则|AM|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•|2-$\frac{8{k}^{2}-6}{3+4{k}^{2}}$|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{12}{3+4{k}^{2}}$，
由AN⊥AM，可得|AN|=$\sqrt{1+（-\frac{1}{k}）^{2}}$•$\frac{12}{3+4•（\frac{-1}{k}）^{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{12}{3|k|+\frac{4}{|k|}}$，
由|AM|=|AN|，k＞0，可得$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{12}{3+4{k}^{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{12}{3k+\frac{4}{k}}$，
整理可得（k-1）（4k²+k+4）=0，由4k²+k+4=0无实根，可得k=1，
即有△AMN的面积为$\frac{1}{2}$|AM|²=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{1+1}$•$\frac{12}{3+4}$）²=$\frac{144}{49}$；
方法二、由|AM|=|AN|，可得M，N关于x轴对称，
由MA⊥NA．可得直线AM的斜率为1，直线AM的方程为y=x+2，
代入椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，可得7x²+16x+4=0，
解得x=-2或-$\frac{2}{7}$，M（-$\frac{2}{7}$，$\frac{12}{7}$），N（-$\frac{2}{7}$，-$\frac{12}{7}$），
则△AMN的面积为$\frac{1}{2}$×$\frac{24}{7}$×（-$\frac{2}{7}$+2）=$\frac{144}{49}$；
（Ⅱ）直线AM的方程为y=k（x+$\sqrt{t}$），代入椭圆方程，
可得（3+tk²）x²+2t$\sqrt{t}$k²x+t²k²-3t=0，
解得x=-$\sqrt{t}$或x=-$\frac{t\sqrt{t}{k}^{2}-3\sqrt{t}}{3+t{k}^{2}}$，
即有|AM|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•|$\frac{t\sqrt{t}{k}^{2}-3\sqrt{t}}{3+t{k}^{2}}$-$\sqrt{t}$|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{6\sqrt{t}}{3+t{k}^{2}}$，
|AN|═$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$•$\frac{6\sqrt{t}}{3+\frac{t}{{k}^{2}}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{6\sqrt{t}}{3k+\frac{t}{k}}$，
由2|AM|=|AN|，可得2$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{6\sqrt{t}}{3+t{k}^{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{6\sqrt{t}}{3k+\frac{t}{k}}$，
整理得t=$\frac{6{k}^{2}-3k}{{k}^{3}-2}$，
由椭圆的焦点在x轴上，则t＞3，即有$\frac{6{k}^{2}-3k}{{k}^{3}-2}$＞3，即有$\frac{（{k}^{2}+1）（k-2）}{{k}^{3}-2}$＜0，
可得$\root{3}{2}$＜k＜2，即k的取值范围是（$\root{3}{2}$，2）．

点评 本题考查椭圆的方程的运用，考查直线方程和椭圆方程联立，求交点，以及弦长公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．