Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的A₁C₁面上有一点P（如图所示，其中P点不在对角线B₁D₁上）．
（1）过P点在空间作一直线l，使l∥直线BD，应该如何作图？并说明理由；
（2）过P点在平面A₁C₁内作一直线m，使m与直线BD成α角，其中α∈（0，

π

2

]，这样的直线有几条，应该如何作图？

Answer 1

分析：（1）在平面A₁C₁内过P作直线l，使l∥B₁D₁，则l∥直线BD．
（2）在平面A₁C₁内作直线m，使直线m与B₁D₁相交成α角，则由 B₁D₁∥BD知，m与BD所成的角也是α，α=

π

2

时，这样的直线m有且只有一条，当α≠

π

2

时，这样的直线m有两条．

解答：解：（1）连接B₁D₁，在平面A₁C₁内过P作直线l，使l∥B₁D₁，则l即为所求作的直线．
∵B₁D₁∥BD，l∥B₁D₁，∴l∥直线BD；
（2）在平面A₁C₁内作直线m，使直线m与B₁D₁相交成α角，
∵BD∥B₁D₁，∴直线m与直线BD也成α角，即直线m为所求作的直线．
由图知m与BD是异面直线，且m与BD所成的角α∈（0，

π

2

]．
当α=

π

2

时，这样的直线m有且只有一条，当α≠

π

2

时，这样的直线m有两条．

点评：本题考查直线与平面平行的性质，以及异面直线所成的角的定义，体现了数形结合的数学思想．