Question

正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的棱长都为2，E、F、G分别为AB、AA₁、A₁C₁的中点，则B₁F与面GEF所成角的正弦值为

 

．

Answer 1

分析：利用等体积，计算B₁到平面EFG距离，再利用正弦函数，可求B₁F与面GEF成角的正弦值．

解答：解：取A₁B₁中点M，连接EM，则EM∥AA₁，EM⊥平面ABC，连接GM
∵G为A₁C₁的中点，棱长为2
∴GM=

1

2

B₁C₁=1，A₁G=A₁F=1，FG=

2

，FE=

2

，GE=

5

在平面EFG上作FN⊥GE，
∵△GFE是等腰三角形，
∴FN=

3

2

，
∴S_△GEF=

1

2

GE×FN=

15

4

，
S_△EFB1=S_{正方形ABB1A1}-S_△A1B1F-S_△BB1E-S_△AFE=

3

2

，
作GH⊥A₁B₁，GH=

3

2

，
∴V_{三棱锥G-FEB1}=

1

3

S_△EFB1×GH=

3

4

，
设B₁到平面EFG距离为h，则V_{三棱锥B1-EFG}=

h

3

S_△GEF=

15 h

12

，
∵V_{三棱锥G-FEB1}=V_{三棱锥B1-EFG}，
∴

15 h

12

=

3

4

，
∴h=

3 5

5

设B₁F与平面GEF成角为θ，
∵B₁F=

5

∴sinθ=

h

B1F

=

3 5 5

5

=

3

5

∴B₁F与面GEF所成的角的正弦值为

3

5

．
故答案为：

3

5

点评：本题考查线面角，考查三棱锥的体积计算，考查转化思想，解题的关键是利用等体积计算点到面的距离．