题目内容

在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n+2ⁿ+1（n∈N^）
（1）求证：数列{a_n-2ⁿ}为等差数列；
（2）设数列{b_n}满足b_n=log₂（a_n+1-n），若 $数学公式$ … $数学公式$ 对一切n∈N^且n≥2恒成立，求实数k的取值范围．

解：（1）（a_n+1-2ⁿ⁺¹）-（a_n-2ⁿ）=a_n+1-a_n-2ⁿ=1
故数列{a_n-2ⁿ}为等差数列，且公差d=1．
a_n-2ⁿ=（a₁-2）+（n-1）d=n-1，a_n=2ⁿ+n-1；
（2）由（1）可知a_n=2ⁿ+n-1，∴b_n=log₂（a_n+1-n）=n
设f（n）= $\text{[math]}$ …（1+ $\text{[math]}$ ）× $\text{[math]}$ ，（n≥2）
则f（n+1）= $\text{[math]}$ …（1+ $\text{[math]}$ ）×（1+ $\text{[math]}$ ）× $\text{[math]}$ ，
两式相除可得 $\text{[math]}$ =（1+ $\text{[math]}$ ）× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ＞1，
则有f（n）＞f（n-1）＞f（n-2）＞…＞f（2）= $\text{[math]}$ ，
要使 $\text{[math]}$ … $\text{[math]}$ 对一切n∈N^*且n≥2恒成立，
必有k＜ $\text{[math]}$ ；
故k的取值范围是k＜ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）先对关系式a_n+1=a_n+2ⁿ+1整理可得到）（a_n+1-2ⁿ⁺¹）-（a_n-2ⁿ）=a_n+1-a_n-2ⁿ=1，即数列{a_n-2ⁿ}为等差数列，
（2）根据（1）可求出数列{a_n-2ⁿ}的通项公式，即可得到数列{a_n}的通项公式，根据b_n=log₂（a_n+1-n），可得到b_n的表达式，设f（n）= $\text{[math]}$ …（1+ $\text{[math]}$ ）× $\text{[math]}$ ，分析可得f（n）的最小值，结合题意即可得答案．
点评：本小题主要考查数列、数学归纳法和不等式的有关知识，考查推理论证、抽象概括、运算求解和探究能力，考查学生是否具有审慎思维的习惯和一定的数学视野．