Question

已知函数．
（Ⅰ）当a=-1时，讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若x∈（-∞，0]时f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）当a=-1时，，，由此能推导出函数f（x）的单调性．
（Ⅱ）当a=0时，f（x）=ln（1-x）+x，，函数f（x）在（-∞，0]增函数，不合题意；当a≠0，，由此进行分类讨论，能求出a的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）当a=-1时，，
其定义域为{x|x＜1，且x≠-1}．
∴，…（2分）
∴函数f（x）在（-∞，-3），（0，1）为减函数，
在（-3，-1），（-1，0）为增函数．…（4分）
（Ⅱ）解：（1）当a=0时，f（x）=ln（1-x）+x，
，
∵x∈（-∞，0]，f'（x）≥0，函数f（x）在（-∞，0]增函数，
故f（x）≤f（0）=0，不合题意，所以a≠0．…（6分）
（2）若a≠0时，，
①当时，，x∈（-∞，0]时，f'（x）≤0，
故f（x）在（-∞，0]为减函数，从而f（x）≥f（0）=0恒成立．…（8分）
②当时，，
函数f（x）在上单调递减，在上单调递增，
则在上存在x，使f（x）＜f（0）=0，故不符合题意．
③当a＜0时，∵，∴．
函数f（x）在上单调递减，在、上单调递增，
则在、上存在x，使f（x）＜f（0）=0，故不符合题意．
综上，a的取值范围是{a|}．…（12分）
点评：本题考查函数的单调性的判断，考查使得不等式恒成立的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意导数的性质的合理运用，合理地运用分类讨论思想解题．