题目内容
已知函数
(1)当a=-1时,求函数f(x)的单调增区间;
(2)若函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围;
(3)若a>0,且对任意x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,都有|f(x1)-f(x2)|>2|x1-x2|,求实数a的最小值.
【答案】分析:(1)把a=-1代入函数解析式,求其导函数,由导函数大于0求函数f(x)的单调增区间;
(2)求原函数的导函数f′(x)=
=
=
,由函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,说明其导函数在(0,+∞)上大于等于0恒成立,在导函数中x与(x+1)恒大于0,只需x+a≥0对x∈(0,+∞)恒成立,则a可求;
(3)由(2)知,当a>0时f(x)在(0,+∞)上是增函数,任取x1,x2∈(0,+∞),且规定x1>x2,则不等式
|f(x1)-f(x2)|>2|x1-x2|可转化为f(x1)-2x1>f(x2)-2x2恒成立,引入函数g(x)=f(x)-2x,说明该函数为增函数,则其导函数在(0,+∞)上大于等于0恒成立,分离变量后利用基本不等式可求a的最小值.
解答:解:(1)当a=-1时,f(x)=-lnx+
x2+1.
则f′(x)=-
+x.
令f′(x)>0,得
,即
,解得:x<0或x>1.
因为函数的定义域为{x|x>0},
所以函数f(x)的单调增区间为(1,+∞).
(2)由函数
.
因为函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,
所以f′(x)=
=
=
≥0对x∈(0,+∞)恒成立.
即x+a≥0对x∈(0,+∞)恒成立.
所以a≥0.
即实数a的取值范围是[0,+∞).
(3)因为a>0,由(2)知函数f(x)在(0,+∞)上是增函数.
因为x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,不妨设x1>x2,所以f(x1)>f(x2).
由|f(x1)-f(x2)|>2|x1-x2|恒成立,可得f(x1)-f(x2)>2(x1-x2),
即f(x1)-2x1>f(x2)-2x2恒成立.
令g(x)=f(x)-2x=
,则g(x)在(0,+∞)上应是增函数.
所以g′(x)=
+x+(a+1)-2=
≥0对x∈(0,+∞)恒成立.
即x2+(a-1)x+a≥0对x∈(0,+∞)恒成立.
即a≥-
对x∈(0,+∞)恒成立
因为-
=-(x+1+
-3)≤3-2
(当且仅当x+1=
即x=
-1时取等号),
所以a≥3-2
.
所以实数a的最小值为3-2
.
点评:本题考查了利用导数研究函数的单调性,考查了数学转化思想,训练了分离变量法和利用基本不等式求函数的最值.此题是有一定难度的题目.
(2)求原函数的导函数f′(x)=
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(3)由(2)知,当a>0时f(x)在(0,+∞)上是增函数,任取x1,x2∈(0,+∞),且规定x1>x2,则不等式
|f(x1)-f(x2)|>2|x1-x2|可转化为f(x1)-2x1>f(x2)-2x2恒成立,引入函数g(x)=f(x)-2x,说明该函数为增函数,则其导函数在(0,+∞)上大于等于0恒成立,分离变量后利用基本不等式可求a的最小值.
解答:解:(1)当a=-1时,f(x)=-lnx+
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则f′(x)=-
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令f′(x)>0,得
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因为函数的定义域为{x|x>0},
所以函数f(x)的单调增区间为(1,+∞).
(2)由函数
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因为函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,
所以f′(x)=
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即x+a≥0对x∈(0,+∞)恒成立.
所以a≥0.
即实数a的取值范围是[0,+∞).
(3)因为a>0,由(2)知函数f(x)在(0,+∞)上是增函数.
因为x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,不妨设x1>x2,所以f(x1)>f(x2).
由|f(x1)-f(x2)|>2|x1-x2|恒成立,可得f(x1)-f(x2)>2(x1-x2),
即f(x1)-2x1>f(x2)-2x2恒成立.
令g(x)=f(x)-2x=
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所以g′(x)=
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即x2+(a-1)x+a≥0对x∈(0,+∞)恒成立.
即a≥-
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因为-
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所以a≥3-2
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所以实数a的最小值为3-2
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点评:本题考查了利用导数研究函数的单调性,考查了数学转化思想,训练了分离变量法和利用基本不等式求函数的最值.此题是有一定难度的题目.
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