题目内容
设F1，F2是椭圆| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
分析：过点F2作F2D⊥PF1于D点，利用|DF1|2+|DF2|2=|F1F2|2，由题设条件能求出当原点O到直线PF1的距离为b时离心率的最大值和当原点O到直线PF1的距离不超过b趋向于0时离心率的最小值，由此能求出结果．
解答：解：设原点O到直线PF1的距离为x，
∵原点O到直线PF1的距离不超过b，
∴0＜x≤b，
∵点P在椭圆C上，∴|PF1|+|PF2|=2a，
又∵|PF2|=|F1F2|=2c，
∴|PF1|=2a-2c，
过点F2作F2D⊥PF1于D点，
当x=b时，F2到直线PF2的距离为|DF2|=2b，
∵|PF2|=|F1F2|，
∴D是PF1的中点，
∴DF1=
|PF1|=a-c，
R△DF1F2中，|DF1|2+|DF2|2=|F1F2|2，
即（a-c）2+（2b）2=（2c）2，
整理得：5a2-2ac-7c2=0，
即（a+c）（5a-7c）=0
∵a+c不为0，∴5a-7c=0，得c=
a，
∴椭圆C的离心率为e=
=
．
当x≠b时，F2到直线PF2的距离为|DF2|=2x，
∵|PF2|=|F1F2|，
∴D是PF1的中点，
∴DF1=
|PF1|=a-c，
R△DF1F2中，|DF1|2+|DF2|2=|F1F2|2，
即（a-c）2+（2x）2=（2c）2，
整理得：a2-2ac+4x2=3c2，
∵0＜x≤b，
∴当x→0时，a2-2ac=3c2，
∴3e2+2e-1=0，
解得e=
，或e=-1（舍）．
综上所述：
＜e≤
．
故选B．
∵原点O到直线PF1的距离不超过b，
∴0＜x≤b，
∵点P在椭圆C上，∴|PF1|+|PF2|=2a，
又∵|PF2|=|F1F2|=2c，
∴|PF1|=2a-2c，
过点F2作F2D⊥PF1于D点，
当x=b时，F2到直线PF2的距离为|DF2|=2b，
∵|PF2|=|F1F2|，
∴D是PF1的中点，
∴DF1=
| 1 |
| 2 |
R△DF1F2中，|DF1|2+|DF2|2=|F1F2|2，
即（a-c）2+（2b）2=（2c）2，
整理得：5a2-2ac-7c2=0，
即（a+c）（5a-7c）=0
∵a+c不为0，∴5a-7c=0，得c=
| 5 |
| 7 |
∴椭圆C的离心率为e=
| c |
| a |
| 5 |
| 7 |
当x≠b时，F2到直线PF2的距离为|DF2|=2x，
∵|PF2|=|F1F2|，
∴D是PF1的中点，
∴DF1=
| 1 |
| 2 |
R△DF1F2中，|DF1|2+|DF2|2=|F1F2|2，
即（a-c）2+（2x）2=（2c）2，
整理得：a2-2ac+4x2=3c2，
∵0＜x≤b，
∴当x→0时，a2-2ac=3c2，
∴3e2+2e-1=0，
解得e=
| 1 |
| 3 |
综上所述：
| 1 |
| 3 |
| 5 |
| 7 |
故选B．
点评：本题考查椭圆的离心率的取值范围的求法，解题时要熟练掌握椭圆的基本性质，合理地进行等价转化．
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