Question

【题目】已知椭圆，直线与椭圆在第一象限内的交点是，点在轴上的射影恰好是椭圆的右焦点，椭圆的另一个焦点是，且.

(1) 求椭圆的方程；

(2) 直线过点，且与椭圆交于两点，求的内切圆面积的最大值.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)3.

【解析】试题分析：

(1)由题意求得，所以椭圆的方程为；

(2)由题意求得内切圆的面积函数： ，换元之后结合对勾函数的性质可得面积的最大值为3.

试题解析：

（1）点在直线上，点在轴上的射影恰好是椭圆的右焦点 ，所以为又，所以.

又在椭圆 上，解得，所以椭圆的方程为.

（2）由（1）知，过点的直线与椭圆交于两点，则的周长为，则（为三角形的内切圆半径），当面积最大时，其内切圆面积最大

设直线的方程为：

由得

所以

令，则，所以，而在上单调递增，

所以，当时取等号，即当， 面积的最大值为3