Question

【题目】已知A、B分别在射线CM、CN（不含端点C）上运动，∠MCN= π，在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c．
（Ⅰ）若a、b、c依次成等差数列，且公差为2．求c的值；
（Ⅱ）若c= ，∠ABC=θ，试用θ表示△ABC的周长，并求周长的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵a、b、c成等差，且公差为2，∴a=c﹣4、b=c﹣2．
又∵ ， ，
∴ ，∴ ，
恒等变形得 c2﹣9c+14=0，解得c=7，或c=2．
又∵c＞4，∴c=7
（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理可得 ，
∴ ，AC=2sinθ， ．
∴△ABC的周长f（θ）=|AC|+|BC|+|AB|=
= = ，
又∵ ，∴ ，
∴当 ，即 时，f（θ）取得最大值
【解析】（Ⅰ）由题意可得 a=c﹣4、b=c﹣2．又因 ， ，可得 ，恒等变形得 c2﹣9c+14=0，再结合c＞4，可得c的值．（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理可得AC=2sinθ， ．△ABC的周长f（θ）=|AC|+|BC|+|AB|= ．再由 ，利用正弦函数的定义域和值域，求得f（θ）取得最大值．