Question

7．从装有n+1个球（其中n=1个白球，1个黑球）的口袋中取出m个球（0＜m≤n，m，n∈N），共有C${\;}_{n+1}^{m}$种取法，这C${\;}_{n+1}^{m}$种取法可分成两类：一类是取出的m个球中，没有黑球，有$C_1^0•C_n^m$种取法，另一类是取出的m个球中有一个是黑球，有$C_1^1•C_n^{m-1}$种取法，由此可得等式：$C_1^0•C_n^m$+$C_1^1•C_n^{m-1}$=C${\;}_{n+1}^{m}$．则根据上述思想方法，当1≤k＜m＜n，k，m，n∈N时，化简$C_k^0$•C${\;}_{n}^{m}$+C${\;}_{k}^{1}$•C${\;}_{n}^{m-1}$+C${\;}_{k}^{2}$•C${\;}_{n}^{m-2}$+…+C${\;}_{k}^{k}$•C${\;}_{n}^{m-k}$=C_n+k^m．（用符号表示）

Answer 1

分析 根据题意，类比题目中的数学模型，把C_k⁰•C_n^m+C_k¹•C_n^m-1+C_k²•C_n^m-2+…+C_k^k•C_n^m-k看作从装有n个白球，k个黑球的袋子里，取出m个球的所有情况取法总数的和，即转化为从装有n+k球中取出m个球的不同取法数，由此得出答案．

解答 解：根据题意，在C_k⁰•C_n^m+C_k¹•C_n^m-1+C_k²•C_n^m-2+…+C_k^k•C_n^m-k式中，
从第一项到最后一项分别表示：从装有n个白球，k个黑球的袋子里，
取出m个球的所有情况，即取法总数的和是多少；
又从装有n+k个球中取出m个球的不同取法数有C_n+k^m种；
所以，C_k⁰•C_n^m+C_k¹•C_n^m-1+C_k²•C_n^m-2+…+C_k^k•C_n^m-k=C_n+k^m．
故答案为：C_n+k^m．

点评 本题考查了类比推理的应用问题，也考查了数学建模的应用问题，解题的关键是熟练掌握排列组合公式，是基础题目．