Question

10．某班同学利用春节进行社会实践，对本地[25，55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，将生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图．

序号	分组	本组“低碳族”的人数	“低碳族”人数在本组中所占的比例
1	[25，30）	120	0.6
2	[30，35）	195	p
3	[35，40）	100	0.5
4	[40，45）	a	0.4
5	[45，50）	30	0.3
6	[50，55]	15	0.3

（一）人数统计表：
（二）各年龄段人数频率分布直方图：
（Ⅰ）在答题卡给定的坐标系中补全频率分布直方图，并求出n、p、a的值；
（Ⅱ）从[40，50]岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动．若将这6个人通过抽签分成甲、乙两组，每组的人数相同，求[45，50]岁中被抽取的人恰好又分在同一组的概率；
（Ⅲ）根据所得各年龄段人数频率分布直方图，估计在本地[25，55]岁的人群中“低碳族”年龄的中位数．

Answer 1

分析 （I）根据频率分步直方图的面积是这组数据的频率，做出频率，除以组距得到高，画出频率分步直方图的剩余部分，根据频率，频数和样本容量之间的关系，做出n、a、p的值．
（II）根据分层抽样方法做出两个部分的人数，列举出所有试验发生包含的事件和满足条件的事件，根据等可能事件的概率公式，得到结果；
（Ⅲ）根据在频率分布直方图中，中位数是所有小长方形的面积相等的分界线，可得答案．

解答 解：（Ⅰ）∵第二组的频率为1-（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5=0.3，
∴高为$\frac{0.3}{5}$=0.06．
频率直方图如下：

第一组的人数为$\frac{120}{0.6}$=200，频率为0.04×5=0.2，
∴n=$\frac{200}{0.2}$=1000．
由题可知，第二组的频率为0.3，
∴第二组的人数为1000×0.3=300，
∴p=$\frac{195}{300}$=0.65．
第四组的频率为0.03×5=0.15，
∴第四组的人数为1000×0.15=150，
∴a=150×0.4=60．
（Ⅱ）∵[40，45）岁年龄段的“低碳族”与[45，50）岁年龄段的“低碳族”的比值为60：30=2：1，
所以采用分层抽样法抽取6人，[40，45）岁中有4人，[45，50）岁中有2人．
设[40，45）岁中的4人为a、b、c、d，[45，50）岁中的2人为m、n，
将这6个人通过抽签分成甲、乙两组，每组的人数相同，共有$\frac{{C}_{6}^{3}}{2}$=10种不同的分法；
以a为研究对象，与a同组有：
（b，c）、（b，d）、（b，m）、（b，n）、（c，d）、
（c，m）、（c，n）、（d，m）、（d，n）、（m，n），
其中[45，50]岁中被抽取的人恰好又分在同一组的有：
（b，c）、（b，d）、（c，d）、（m，n）4种，
故[45，50]岁中被抽取的人恰好又分在同一组的概率P=$\frac{4}{10}$=$\frac{2}{5}$
（Ⅲ）∵前两组的累积频率5×0.04+5×0.06=0.5，
所以面积相等的分界线为35，
即中位数为35．

点评 本题考查频率分步直方图，考查频数，频率和样本容量之间的关系，考查等可能事件的概率，考查利用列举法来得到题目要求的事件数，本题是一个概率与统计的综合题目