Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的离心率e=2，且B₁、B₂分别是双曲线虚轴的上、下端点．
（Ⅰ）若双曲线过点Q（2，

3

），求双曲线的方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若A、B是双曲线上不同的两点，且

B2A

=λ

B2B

，

B2A

⊥

B1B

，求直线AB的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据双曲线的离心率，求得a和c的关系，进而求得a和b的关系，把点Q代入椭圆方程求得a，进而求得b，则椭圆方程可得．
（Ⅱ）根据

B2A

=λ

B2B

判断出A、B₂、B三点共线．根据

B2A

⊥

B1B

判断出

B2B

⊥

B1B

，进而设直线AB的方程和B₁B的方程联立求得B的坐标，代入双曲线方程求得k，则直线AB的方程可得．

解答：解：（Ⅰ）∵双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，e=2
∴c=2a，b²=c²-a²=3a²，
∴双曲线方程为

x2

a2

-

y2

3a2

=1，又曲线C过点Q（2，

3

），
∴

4

a2

-

3

3a2

=1，a2=3，b2=9
∴双曲线方程为

x2

3

-

y2

9

=1.
（Ⅱ）∵

B2A

=λ

B2B

，
∴A、B₂、B三点共线．
∵

B2A

⊥

B1B

，∴

B2B

⊥

B1B

（1）当直线AB垂直x轴时，不合题意．
（2）当直线AB不垂直x轴时，由B₁（0，3），B₂（0，-3），
可设直线AB的方程为y=kx-3，①
∴直线B₁B的方程为y=-

1

k

x+3.②
由①，②知B(

6k

k2+1

，

3k2-3

k2+1

)，代入双曲线方程得
3×

36k2

(k2+1)2

-

9(k2-1)2

(k2+1)2

=9，得k⁴-6k²+1=0，
解得k=±

2

±1，
故直线AB的方程为y=(±

2

±1)x-3

点评：本题主要考查了双曲线的标准方程．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．