题目内容
（2013•杨浦区一模）已知 f（x）=
sin2x-2sin2x，
（1）求f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）若x∈[-
，
]，求f（x）的最大值及取得最大值时对应的x的取值．
| 3 |
（1）求f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）若x∈[-
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为2sin（2x+
）-1，由此求得函数的周期，令2kπ+
≤2x+
≤2kπ+
，k∈z，解得x的范围，可得f（x）的单调递减区间．
（2）根据-
≤x≤
，求得2x+
的范围，可得sin（2x+
）-1的范围，即为函数的值域，从而求得函数的最大值．
| π |
| 6 |
| 3π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 3π |
| 2 |
（2）根据-
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
解答：解：（1）因为 f（x）=
sin2x-2sin2x=
sin2x+cos2x-1=2sin（2x+
）-1，…（4分）
所以，函数的周期为T=
=π，即函数f（x）的最小正周期为 π． …（5分）
令 2kπ+
≤2x+
≤2kπ+
，k∈z，解得 kπ+
≤x≤kπ+
，k∈z，
所以f（x）的单调递减区间为[kπ+
，kπ+
]． …（7分）
（2）因为-
≤x≤
，得-
≤2x+
≤
，∴-
≤sin（2x+
）≤1． …（8分）
∴-2≤2sin（2x+
）-1≤1，…（10分）
所以，函数f（x）的最大值为1．…（12分）
此时，2x+
=
，即 x=
．…（14分）
| 3 |
| 3 |
| π |
| 6 |
所以，函数的周期为T=
| 2π |
| 2 |
令 2kπ+
| 3π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 3π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
所以f（x）的单调递减区间为[kπ+
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
（2）因为-
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 5π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 6 |
∴-2≤2sin（2x+
| π |
| 6 |
所以，函数f（x）的最大值为1．…（12分）
此时，2x+
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，复合三角函数的单调性、周期性和求法，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目