题目内容
设实数a，b满足a≠b，求证：a4+b4＞ab（a2+b2）．
分析：直接利用作差法化简表达式为因式乘积的形式，判断因式的符号，推出结果．
解答：选修4-5：不等式选讲
证明：作差得a4+b4-ab（a2+b2）=a3（a-b）+b3（b-a）=（a-b）2（a2+ab+b2）． …（4分）
=（a-b）2[（a+
）2+
]． …（6分）
因为a≠b，所以a，b不同时为0，故（a+
）2+
＞0，（a-b）2＞0，
所以（a-b）2[（a+
）2+
]＞0．
即有a4+b4＞ab（a2+b2）． …（10分）
证明：作差得a4+b4-ab（a2+b2）=a3（a-b）+b3（b-a）=（a-b）2（a2+ab+b2）． …（4分）
=（a-b）2[（a+
| b |
| 2 |
| 3b2 |
| 4 |
因为a≠b，所以a，b不同时为0，故（a+
| b |
| 2 |
| 3b2 |
| 4 |
所以（a-b）2[（a+
| b |
| 2 |
| 3b2 |
| 4 |
即有a4+b4＞ab（a2+b2）． …（10分）
点评：本题考查不等式的证明，综合法的应用，考查逻辑推理能力．
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的最小值是