Question

1．已知实数x，y满足x²+y²=4，则4（x-$\frac{1}{2}$）²+（y-1）²+4xy的最大值是22+4$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 利用圆的参数方程，结合配方法，即可求出4（x-$\frac{1}{2}$）²+（y-1）²+4xy的最大值．

解答 解：由题意，设x=2cosα，y=2sinα，
则t=2x+y=4cosα+2sinα=2$\sqrt{5}$sin（α+θ）∈[-2$\sqrt{5}$，2$\sqrt{5}$]．
4（x-$\frac{1}{2}$）²+（y-1）²+4xy=4x²+4xy+y²-4x-2y+2=（2x+y）²-2（2x+y）+2=（t-1）²+1
∴t=-2$\sqrt{5}$时，4（x-$\frac{1}{2}$）²+（y-1）²+4xy的最大值是22+4$\sqrt{5}$．
故答案为：22+4$\sqrt{5}$．

点评 本题考查4（x-$\frac{1}{2}$）²+（y-1）²+4xy的最大值，考查圆的参数方程，考查配方法的运用，正确变形是关键．