Question

10．若函数f（x）=x²+2a|x|+a²-6的图象与x轴有三个不同的交点，函数g（x）=f（x）-b有4个零点，则实数b的取值范围是（-6，0）．

Answer 1

分析 根据函数f（x）是偶函数，结合函数与x轴交点个数得到f（0）=0，根据函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点问题进行求解即可．

解答 解：∵函数f（x）是偶函数，
∴f（x）=x²+2a|x|+a²-6的图象与x轴有三个不同的交点，
则必有f（0）=0，
即a²-6=0，即a²=6，
即a=±$\sqrt{6}$，
当a=$\sqrt{6}$时，f（x）=x²+2$\sqrt{6}$|x|，此时函数f（x）只有1个零点，不满足条件．
当a=-$\sqrt{6}$时，f（x）=x²-2$\sqrt{6}$|x|，此时函数f（x）有3个零点，满足条件，
此时f（x）=x²-2$\sqrt{6}$|x|=（|x|-$\sqrt{6}$）²-6，
∴f（x）≥-6，
由g（x）=f（x）-b=0得b=f（x），
作出函数f（x）的图象如图：
要使函数g（x）=f（x）-b有4个零点，
则-6＜b＜0，
故答案为：（-6，0）

点评 本题主要考查函数与方程的应用，根据函数f（x）与x轴有三个不同的交点，得到f（0）=0是解决本题的关键．注意要利用数形结合进行求解．